Also
neuer Job suchen klingt vernünftig, das kann es ja wirklich nicht sein. Bewirb dich auch auf Stellen, die ab sofort ausgeschrieben sind. 4 Wochen Kündigungsfrist ist sehr kurz! Ist es denn scvwierig in deinem Bereich etwas zu finden? Wenn nicht kannst du ja auch in Erwägung ziehen, zu künden und dann mit sofortiger Verfügbarkeit zu suchen...
Ich habe mir nicht alle Antworten durchgelesen (und ich kenne mich auch nicht aus mit dem deutschen System der Kinderkranktage, ich bin Schweizerin). Aber hast du dir überlegt, einfach zu sagen du seist krank? Ja, ich weiss, das ist falsch und das sollte man nicht machen und eigentlich bin ich auch kein Fan von solchen "Halbwahrheiten", aber ganz ehrlich, wenn es dich SO fertig macht, macht es doch keinen Sinn!