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Man muss es dem Ordnungsamt melden, wenn man eine Katze findet. Die nehmen dann eine Fundanzeige auf und der rechtmäßige Besitzer (wenn es einen gibt) hat 6 Monate Zeit sich zu melden, danach ist es offiziell deine. So ist es zumindest in Berlin/Brandenburg. Keine Ahnung, ob es da Unterschiede gibt.
Ist die Katze zahm? Dann ist es meistens ein Zeichen dafür, dass sie Kontakt zu Menschen hatte. Wildkatzen sind scheu und sehen meist ungepflegt aus.
Zum Tierarzt würde ich an deiner Stelle ganz schnell gehen, wenn sie wirklich eine Streunerin ist, dürfte sie Flöhe und Würmer haben (und das ist noch das geringste Problem).
LG