Also
ich war damals auch hartz 4 empfängerin und bei uns sagte man es so:
man darf umziehen wann man möchte....das könnten sie keinen verbieten ABER:
die wohnung darf nicht teurer sein (dann kannst du immer noch umziehen aber wie z.b. bei dir musst du die 4 euro mehr von deinem geld was noch ürbrig ist selbst zahlen).
und dir wird nicht der umzug finanziert, d.h. du musst alle kosten ob umeldung, renovierung, umzug selbst, selbst tragen.
so kannst du umziehen wann und wie du möchtest.
wenn es aber einen kräftigen grund bei dir geben sollte dann musst du mal separat bei der arge nachfragen, wenn du glück hast bekommst du dann die umzugskosten erstattet
lg