Kind beißt und versteht nicht

Sie darf bereits abgesehen von Haut in fast alles reinbeißen. Das tut sie auch fleißig. Wenn ich auf der Couch das Bein wegziehe, dann beißt sie ins Sofa. Ziehe ich den Arm weh, dann in den Pulli. Sie beißt in Papier, ihre Kuscheltiere und die Möbel versucht sie auch anzuknabbern.

Das hilft nur alles nichts. Sobald sie mich oder ein anderes Familienmitglied zu fassen bekommt, beißt sie wieder.

Die Frage ist ja, warum sie beißt.

Eine Möglichkeit wäre, dass das ihr Weg ist, dir zu zeigen, dass ihr irgendwas nicht passt, sie sich geärgert hat etc. So, wie du die Situationen schilderst, und da sie ja auch noch recht klein ist, würde ich aber vermuten, dass einer der anderen beiden Gründe dahinter steckt:

ENTWEDER es ist für sie einfach ein lustiges Spiel: ich beiße, Mama sagt was Lautes. Hihi, lustig. Ob das wohl nochmal klappt?
Ob du nun "nein" oder "aua" (oder "Holzwurm" sagst, spielt glaub ich eine ziemlich untergeordnete Rolle, weil ein Kind in dem Alter ja grade erst anfängt, die Bedeutung der Worte zu dekodieren. Für deine Tochter ist (möglicherweise?) einfach noch nicht klar, was "nein" bedeutet. Oder eben "aua". Und soweit, dass sie nachfühlen könnte, dass sie dir damit wehtut, ist sie noch lange nicht!
Falls es also einfach nur der Spieltrieb sein sollte, wäre die Lösung, das Spiel langweilig zu machen. Auch, wenn es schwer fällt: kein "nein", kein "aua", stur ignorieren. Und am besten schnell mit was anderem ablenken.

ODER es ist eine Form der Kontaktaufnahme. Könnt ich mir nach deiner Schilderung auch gut vorstellen, passt auch, glaub ich, gut in das Alter. Da  bedeutet das Beißen dann soviel wie "Komm, spiel mit mir" oder auch (gerade beim Kuscheln) "Mann, hab ich dich lieb!"
In dem Fall würd ich versuchen - auch wenn es schwierig ist, da es, wie du sagst, oft unvermittelt kommt - ihr zuvor zu kommen.
Du liegst auf der Couch, sie kommt angekrabbelt - bevor sie die Chance hat, dich zu beißen, streckst du die Arme nach ihr aus und fragst, ob sie dich zum Spielen abholt.
Du hast sie auf dem Arm, sie kuschelt sich an - bevor sie beißt, gibst du ihr ganz viele Küsschen und sagst ihr, wie lieb du sie hast.
Usw.
Zeig ihr in den Situationen, wie sie sich auf andere Art ausdrücken kann.

Sie beißt nicht aus Wut oder Enttäuschung, sondern weil es Spaß macht. Sie testet auch keine Grenzen, sondern einfach nur ihren Mund. Sie beißt in alles, was sie zu fassen bekommt - auch in den Badewannenrand. Dabei ist sie super gut drauf. Und sie unterscheidet auch nicht bei Material oder Mensch, alles wird gleichermaßen gebissen und auf ein "Nein" oder "Aua" reagiert sie gleichermaßen, egal wer es sagt. Vor ein paar Tagen hat sie mich so doll und plötzlich gebissen, dass ich aufgeschrien habe (sie hat sich erschrocken) und sie wegsetzen musste. Das störte sie aber nicht und beißen tut sie weiterhin.

Das sind zahnungsschmerzen. 
Beissring, veilchenwurzel, knautschtier etc. anbieten und ggf. Schmerzmittel verabreichen. 

Wenn du aua sagst, machst du dann auch die entsprechende Mimik dazu?
Du solltest schon mit deiner Gestik und Mimik zeigen, dass es wehtut, vielleicht bisschen schluchzen oder jammern  Ist ja klar, dass ein so kleines Kind kein spezifisches Wort wie nein oder aua interpretieren kann...Das braucht noch was. Daher solltest du sie in der Situation eben direkt ins gesicht schauen und ihr wirklich gut zeigen, dass es dir wehtut. 
Vielleicht hilft das ja besser.